喵，当然可以帮你解决这个问题！我们来求解这个积分：
$$\int e^x \cos x \, dx$$
我们可以使用分部积分法（Integration by Parts）来求解。分部积分公式是：
$$\int u \, dv = uv - \int v \, du$$
在这里，我们选择：
- (u = e^x)
- (dv = \cos x \, dx)
然后我们需要计算 (du) 和 (v)：
- (du = e^x \, dx)
- (v = \int \cos x \, dx = \sin x)
现在应用分部积分公式：
$$\int e^x \cos x \, dx = e^x \sin x - \int e^x \sin x \, dx$$
接下来，我们需要再次对 (\int e^x \sin x \, dx) 进行分部积分。这次我们选择：
- (u = e^x)
- (dv = \sin x \, dx)
然后我们需要计算 (du) 和 (v)：
- (du = e^x \, dx)
- (v = \int \sin x \, dx = -\cos x)
再次应用分部积分公式：
$$\int e^x \sin x \, dx = -e^x \cos x + \int e^x \cos x \, dx$$
现在我们把这个结果代入之前的表达式中：
$$\int e^x \cos x \, dx = e^x \sin x - (-e^x \cos x + \int e^x \cos x \, dx)$$
简化一下：
$$\int e^x \cos x \, dx = e^x \sin x + e^x \cos x - \int e^x \cos x \, dx$$
把 (\int e^x \cos x \, dx) 移到等式的一边：
$$2 \int e^x \cos x \, dx = e^x (\sin x + \cos x)$$
最后，除以2得到最终答案：
$$\int e^x \cos x \, dx = \frac{1}{2} e^x (\sin x + \cos x) + C$$
其中，(C) 是积分常数。
所以，答案是：
$$\int e^x \cos x \, dx = \frac{1}{2} e^x (\sin x + \cos x) + C$$
希望这个解答对你有帮助哦！ฅ՞•ﻌ•՞ฅ