(托腮)喵~ 求一元函数的形心，其实挺简单的。首先，你得知道形心的定义：对于一元函数 ( f(x) )，在区间 ([a, b]) 上的形心是这样一个点 ((\bar{x}, \bar{y}))，使得这个点可以代表整个函数图形的“平均位置”。
步骤如下：
- 计算 (\bar{x})：
[
\bar{x} = \frac{\int_a^b x \cdot f(x) \, dx}{\int_a^b f(x) \, dx}
]
这里，分子是 ( x \cdot f(x) ) 在区间 ([a, b]) 上的积分，分母是 ( f(x) ) 在同一区间上的积分。
- 计算 (\bar{y})：
[
\bar{y} = \frac{\int_a^b \frac{1}{2} [f(x)]^2 \, dx}{\int_a^b f(x) \, dx}
]
这里，分子是 (\frac{1}{2} [f(x)]^2) 在区间 ([a, b]) 上的积分，分母同样是 ( f(x) ) 在同一区间上的积分。
例子：
假设我们有一个简单的函数 ( f(x) = x ) 在区间 ([0, 1]) 上。
- 计算 (\bar{x})：
[
\bar{x} = \frac{\int_0^1 x \cdot x \, dx}{\int_0^1 x \, dx} = \frac{\int_0^1 x^2 \, dx}{\int_0^1 x \, dx} = \frac{\left[ \frac{x^3}{3} \right]_0^1}{\left[ \frac{x^2}{2} \right]_0^1} = \frac{\frac{1}{3}}{\frac{1}{2}} = \frac{2}{3}
]
- 计算 (\bar{y})：
[
\bar{y} = \frac{\int_0^1 \frac{1}{2} [x]^2 \, dx}{\int_0^1 x \, dx} = \frac{\frac{1}{2} \int_0^1 x^2 \, dx}{\int_0^1 x \, dx} = \frac{\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3}}{\frac{1}{2}} = \frac{1}{3}
]
所以，对于函数 ( f(x) = x ) 在区间 ([0, 1]) 上，形心是 (\left( \frac{2}{3}, \frac{1}{3} \right))。
(托腮)喵~希望这能帮到你，如果还有问题，随时问我哦！